pengertian baris dan deret

BARISAN DAN DERET

Definisi Barisan :

Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan. 

Contoh :

1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst

2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst

Definisi deret :

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U₁,U₂,U_3,…..Un maka U₁ + U₂ + U₃ +… +Un adalah deret.

Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 +… + Un

2 + 4 + 6 + 8 +… + Un

A.    Baris dan Deret Aritmatika

Definisi baris aritmatika :

Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.

Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)b

Dengan

o   a = U₁= Suku pertama       

o   b = beda

o   n = banyaknya suku

o   U_n = Suku ke-n

 

Suku pertamanya adalah 3 (a=3) dan bedanya adalah 2 (b=2), banyaknya suku ada 5 (n=5), suku ke-5 adalah 11 (U₅ = 11).

Deret aritmatika adalah jumlah dari baris aritmatika.

            Contoh : 3 + 5 + 7 + 9 + 11   

o   Ut = Suku tengah

o   Sn = Jumlah n suku pertama  

Berikut adalah cara untk mengetahui nilai dari beberapa hal yang disebut di atas :

·         Beda

b = U_n – U_n-1

·         Suku ke-n

Un = a + (n-1)b

Un = S_n – S_n-1

·         Jumlah n suku pertama

S_n = ½ n (U₁ + U_n)

S_n = ½ n ( 2a + (n-1)b )

·         Nilai tengah

U_t = ½ (U₁ + U_n)

B.     BARIS DAN DERET GEOMETRI

Definisi barisan geometri :

            Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya merupakan suatu bilangan tetap r maka barisan tersebut adalah barisan geometri.bilangan tetap r disebut rasio dari barisan.

Contoh :

2,6,18,48….. adalah barisan geometri dengan rasio 3. Artinya adalah nilai pada Un = 3U_n-1.

           

Definisi deret geometri :

Jika U₁,U₂,U_3,…..Un adalah barisan geometri maka jumlah U₁ + U₂ + U₃ +… +Un disebut deret geometri.

Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah :

            Sn = a( 1- rⁿ ) / 1 – r , jika r < 1 dan

                        Sn = a( rⁿ - 1) / r – 1 , jika r > 1

contoh soal baris dan deret geometri dan aritmatika

1. Diketahui barisan aritmetika  3, 8, 13, …

a.       Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

b.       Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

2.Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika  3 +  5 + 7 + …..

   Tentukan beda pada setiap barisan aritmetika berikut.

a.       2, 7, 12, 17,……

b.       71, 58, 45, 32,….

c.        1,- 3, -7, -11,….

d.       -10, -7, -4, -1,…

3.       Tulislah lima suku pertama barisan aritmetika yang diketahui salah satu suku dan bedanya berikut ini.

a.       suku ke- 1 = 3 dan beda 6

b.       U1 = 9 dan b = -4

c.        U6 = 7 dan b = 4

d.       U1 = 5  dan U7 = 41

e.       U19 = 91 dan U91 = 19

4.       Suatu barisan aritmetika diketahui U5 = 14, U8 + U11 = 55, tentukan U20

5.       Suku keberapakah dari barisan aritmetika 172, 166, 160, ……… yang merupakan bilangan positif terkecil?

6.       Tentukan nilai x jika ketiga suku barisan berikut adalah barisan aritmetika:

a.       2x – 1,  5x – 3,  4x + 3

b.       x – 3,  x + 3,  3x

c.        3x2 + x + 1,  2x2 + x,  4x2 – 6x + 1

d.       2x2 + 1,  x2,  3x2 – 7x – 1

7.       Diantara tiap dua suku yang berurutan dari barisan aritmetika dibawah ini disisipkan 6 buah bilangan sehingga diperoleh barisan aritmetika baru, tentukan beda dan banyaknya suku pad barisan aritmetika tersebut!

a.       1, 50, 99, 148.

b.       3, 8, 13, ……, 58

c.        19, 12, 5, ……, 48

d.       3, 6, 9, ……, 36

8.       Suku pertama dan suku kelima sebuah deret aritmetika adalah 5 dan 11. Hitunglah jumlah 20 suku pertama deret tersebut!

9.       Carilah nilai x jika diketahui jumlah suku-suku deret sebagai berikut:

a.       5 + 7 + 9 + …… + x = 192

b.       4 + 11 + 18 + …… + x = 280

c.        100 + 96 + 92 + …… + x = 0

10.       Seorang karyawan suatu perusahaan setiap tahun menerima tambahan gaji yang besarnya tetap. Pada tahun ke-3 ia menerima gaji Rp. 900.000,00 tiap bulan dan pada tahun ke-5 menerima gaji Rp. 1000.000,00 tiap bulan. Tentukan :

a.       Besarnya gaji yang diterima pada tahun ke-10

b.       Jumlah gaji yang telah diterima selama 10 tahun

11.       Dalam suatu gedung pertemuan , kursi disusun dalam beberapa baris . Baris pertama terdiri 10 kursi , baris berikutnya bertambah 5 kursi dibandingkan dengan baris sebelumnya. Jika pada baris terakhir terdiri 110 kursi, maka tentukan :

a.       Banyaknya baris kursi dalam gedung tersebut

b.       Banyaknya kursi dalam gedung tersebut

 12. Jumlah ke-10 dari barisan : 3, 5, 7, 9, ….adalah

13. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2,5 meter danmemantul dengan ketinggian 53 kali tinggi semula. Dansetiap kali memantul berikutnya, mencapai ketinggian 53 kali tinggi pantulan sebelumnya. Maka jarak lintasanbola sampai bola berhenti adalah …

14. Suatu deret aritmatika diketahui 5 deret suku pertama =35 dan jumlah 4 suku yang pertama = 24. Suku yangke-15 sama dengan

15. Dalam deret geometri diketahui suku ke-2 = 10 dansuku ke-5 = 1250. Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah

16. Jumlah n suku yang pertama dari deret aritmatikadinyatakan dengan Sn= 3n– 5n. Beda dari deret tersebut adalah

17. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 4, suku pertamanya 34. Jumlah semua suku yang bernomor genap dari deret tersebut adalah

18. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskandengan Sn=23n– 1. Rasio deret tersebut adalah.

contoh soal beserta jawabnya

Contohsoalbarisdanderetgeometri

1. Carilahsukuke 8 daribarisan di bawahini

   a) 2,4,8,16,32,...    b) 2,1,1/2,1/4,1/8,...

2. Diketahuibarisangeometridengan U3 = 27 dan U5 = 243. Berapakah 6 sukupertama

derettersebut?

Solusi :

1. a) U1 = 4                U8 = U1 . r8-1 = 2 . 27  =  2 . 128 = 256

        U2 = 2

         r = U2 : U1

           = 4 : 2

            = 2

    b) U2 = 1                  U8 = U1 .r8-1 = 2 . (1/2)7 =  2 x 1/128 = 1/64

        U1 = 2

         r = U2 : U1

           = 1 : 2

           = 1/2

2. U3 = a .r3-1   = a . r2 = 27                          27 = U1 . (3)3-1

    U5 = a .r5-1   = a . r4 = 243                        27 = U1 . 32

                                                                       27 = U1 . 9

   U5/U3 = a . r4 / a . r2 = 243/27              

    r2 = 9                                                            U1 = 27 : 9 = 3

    r = 3

    S15 = 3 ( 36 - 1) / 3-1 = 3 (729-1) / 2 = 3 (728) /2 = 1092

Contohsoalbarisandanderetaritmatika

Dari suatubarisanaritmetika, sukuketigaadalah 36, jumlahsukukelimadanketujuhadalah 144.Jumlahsepuluhsukupertamaderettersebutadalah …

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

PEMBAHASAN :

un = a + (n – 1)b

u3 = a + 2b = 36 … (i)

u5 + u7 = 144

(a + 4b) + (a + 6b) = 144

2a + 10b = 144 (kalikan ½)

a + 5b = 72 … (ii)

dari (i) dan (ii) diperoleh :

a + 5b = 72

(36 – 2b) + 5b = 72

3b = 36 => b = 12

Kemudiansubstitusinilai b kesalahsatupersamaan (misalpersamaan (i)), sehinggadiperoleh :

a = 36 – 2b = 36 – 2(12) = 12

Setelahnilai a dan b kitadapatkan, kemudiankitamencarinilaidariS10 :

Sn=  (2a + ( n – 1 )b)

S10 =  (2(12) + ( 10 – 1 )12)

   = 5 (24 + (9)12)

   = 5 (24 + 108)

   = 5 (132) = 660

JAWABAN : B

Seorangibumembagikanpermenkepada 5 orang anaknyamenurutaturanderetaritmetika. Semakinmudausiaanaksemakinbanyakpermen yang diperoleh. Jikabanyakpermen yang diterimaanakkedua 11 buahdananakkeempat 19 buah, makajumlahseluruhpermenadalah … buah

A. 60

B. 65

C. 70

D. 75

E. 80

PEMBAHASAN :

u2 = a + b = 11 … (i)

u4 = a + 3b = 19 … (ii)

substitusipersamaan (i) kepersamaan (ii), makadiperoleh :

(11 – b) + 3b = 19

           2b = 8 => b = 4

Kemudiansubstitusinilai b tersebutsalahsatupersamaan (misalpersamaan (i)) sehinggamenjadi :

a = 11 – b = 11 – 4 = 7

Setelahnilai a dan b kitaperoleh, kemudiansubstitusinilaitersebutkerumusnya :

Sn=  (2a + (n – 1)b)

S5 =  (2(7) + (5 – 1)4)

  = (14 + (4)4)

=  (14 + 16)

  = (30) = 75

JAWABAN : D

Seoranganakmenabung di suatu bank denganselisihkenaikantabunganantarbulantetap.PadabulanpertamasebesarRp. 50.000,00, bulankedua Rp.55.000,00, bulanketiga Rp.60.000,00, danseterusnya. Besartabungananaktersebutselamaduatahunadalah …

A. Rp. 1.315.000,00

B. Rp. 1.320.000,00

C. Rp. 2.040.000,00

D. Rp. 2.580.000,00

E. Rp. 2.640.000,00

PEMBAHASAN :

u1 = a = Rp. 50.000,00

u2 = Rp. 55.000,00

u3 = Rp. 60.000,00

b = u2 – u1 = Rp. 55.000,00 – Rp. 50.000,00 = Rp. 5.000,00

2tahun = 24 bulan, jadi n = 24

Sn=  (2a + (n – 1)b)

S24 =  (2(50.000) + (24 – 1)5.000)

   = 12 (100.000 + 23(50.000))

   = 12 (100.000 + 115.000)

   = 12 (215.000) = 2.640.000

JAWABAN : E

Dari suatuderetaritmetikadiketahui u3 = 13 dan u7 = 29. Jumlahduapuluhlimasukupertamaderettersebutadalah …

A. 3.250

B. 2.650

C. 1.625

D. 1.325

E. 1.225

PEMBAHASAN :

u3 = a + 2b = 13 … (i)

u7 = a + 6b = 29 … (ii)

substitusi (i) ke (ii), sehinggamenjadi :

(13 – 2b) + 6b = 29

            4b = 16 => b = 4

Kemudiannilai b disubstitusikesalahsatupersamaan (misalpersamaan (i)), sehinggadiperoleh :

a = 13 – 2b = 13 – 2(4) = 5

Sn=  (2a + (n – 1)b)

S25 =  (2(5) + (25 – 1)4)

=  (10 + (24)4)

=  (10 + 96)

=  (106)

   = 25.53 = 1.325

JAWABAN : D

Sukuke – n suatuderetaritmetikaun = 3n – 5. Rumusjumlah n sukupertamaderettersebutadalah …

A. Sn = n/2 (3n – 7)

B. Sn = n/2 (3n – 5)

C. Sn = n/2 (3n – 4)

D. Sn = n/2 (3n – 3)

E. Sn = n/2 (3n – 2)

PEMBAHASAN :

Rumusuntukjumlahsukupertamake-n barisanaritmatikaadalahSn = (2a + (n – 1)b) atauSn =  (a + un). Karenasukuke-n atauundiketahui, makakitagunakanrumus yang keduauntukmencarirumujumlahsukupertamake-n.

un = 3n – 5

u1 = 3(1) – 5 = -2

Sn=  (a + un)

=  (-2 + 3n – 5)

=  (3n – 7)

JAWABAN : A

Jumlah n buahsukupertamaderetaritmetikadinyatakanolehSn=  (5n – 19). Beda derettersebutadalah …

A. -5

B. -3

C. -2

D. 3

E. 5

PEMBAHASAN :

S1 =  (5(1) – 19) = -7

S1 = u1 = a = sukupertama

S2 = latex \frac{2}{2}$ (5(2) – 19) = -9

S2 = u1 + u2 = a + (a + b)

   = -7 + (-7 + b) = -9

                 b = -9 + 14 = 5

JAWABAN : E

Empatbuahbilanganpositifmembentukbarisanaritmatika.Jikaperkalianbilanganpertamadankeempatadalah 46, danperkalianbilangankeduadanketigaadalah 144, makajumlahkeempatbilangantersebutadalah …

A. 49

B. 50

C. 60

D. 95

E. 98

PEMBAHASAN :

u1.u4 = a(a + 3b) = a2 + 3ab = 46 … (i)

u2.u3 = (a + b)(a + 2b) = a2 + 3ab + 2b2 = 144 … (ii)

subsitusi (i) ke (ii), sehinggamenjadi :

a2 + 3ab + 2b2 = 46 + 2b2 = 144

           2b2 = 98

            b2 = 49 => b = 7

substitusinilai b kepersamaan (i) :

a2 + 3a(7) = 46

a2 + 21a – 46 = 0

(a + 23)(a – 2) = 0

a = -23 atau a = 2

untuk a = -23

S4 =  (2(-23) + (4 – 1)7)

   = 2(-26 + 21)

   = 2(-5) = 10

untuk a = 2

S4 =  (2(2) + (4 – 1)7)

   = 2(4 + 21)

   = 2(25) = 50

JAWABAN : B

Jumlah n sukupertamaderetaritmetikaadalahSn = n2 + 5/2 n. Beda darideretaritmetikatersebutadalah …

A. -11/2

B. -2

C. 2

D. 5/2

E. 11/2

PEMBAHASAN :

Sn = n2 + 5/2 n

S1 = (1)2 + 5/2 (1) = 7/2

S1 = u1 = a

S2 = (2)2 + 5/2 (2) = 9

S2 = u1 + u2 = a + (a + b)

9 = 7/2 + (7/2 + b)

9 – 7 = b

    2 = b

JAWABAN : C

Dari deretaritmetikadiketahuisukutengah 32. Jikajumlah n sukupertamaderetitu 672, banyaksukuderettersebutadalah …

A. 17

B. 19

C. 21

D. 23

E. 25

PEMBAHASAN :

ut = ½(a + un) = 32

a + un = 32(2)

a + un = 64

Sn=  (a + un)

672 =  (64)

672 = n (32)

21 = n

JAWABAN : C

Contohsoalbarisdanderetgeomerti

SebuahmobildibelidenganhagaRp. 80.000.000,00. Setiaptahunnilaijualnyamenjadi ¾ darihargasebelumnya.Berapanilaijualsetelahdipakai 3 tahun ?

A. Rp. 20.000.000,00

B. Rp. 25.312.500,00

C. Rp. 33.750.000,00

D. Rp. 35.000.000,00

E. Rp. 45.000.000,00

PEMBAHASAN :

Kata kuncidalamsoaliniadalah “Setiaptahunnilaijualnyamenjadi 3/4 darihargasebelumnya”, iniartinyarasionya 3/4 dantermasukdalamderetgeometri.

Yang jadipertanyaannyaadalahsuku ke-4 dengan a = 80.000.000

u4 = ar3 = 80.000.000(3/4)3 = 33.750.000

JAWABAN : C

Sebuah bola jatuhdariketinggian 10 m danmemantulkembalidenganketinggian ¾ kali tinggisebelumnya, begituseterusnyahingga bola berhenti.Jumlahseluruhlintasan bola adalah …

A. 65m

B. 70m

C. 75m

D. 77m

E. 80m

PEMBAHASAN :

Karena bola memantulterus-terusansampaiberhenti, berartiinitermasukderetgeometritakhingga. Untukmencaripanjanglintasan bola yang memantulini, rumus yang digunakanadalah

Panjanglintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali derettakhingga)

Dalamderettakhinggaini, yang menjadisukupertamayaadalahpantulanpertama (bukanketinggian bola jatuhpadaawal).

Pantulanpertama = 10 x ¾ = 30/4 m (sukupertama)

 =

    =

=  = 30

P.Lintasan = 10 + 2(30) = 70m

JAWABAN : B

Seutastalidipotongmenjadi 7 bagiandanpanjangmasing–masingpotonganmembentukbarisangeometri.Jikapanjangpotongantaliterpendeksamadengan 6cm danpotongantaliterpanjangsamadengan 384cm, panjangkeseluruhantalitersebutadalah … cm.

A. 378

B. 390

C. 570

D. 762

E. 1.530

PEMBAHASAN :

u1 = a = 6

u7 = ar6 = 384

6.r6 = 384

r6 = 64 => r = 2

Sn =

S7 =

=  = 762

JAWABAN : D

Sebuah bola pingpongdijatuhkandariketinggian 25 m danmemantulkembalidenganketinggian 4/5 kali tinggisemula.Pematulaniniberlangsungterusmenerushingga bola berhenti.Jumlahseluruhlintasan bola adalah … m.

A. 100

B. 125

C. 200

D. 225

E. 250

PEMBAHASAN :

Karena bola memantulterus-terusansampaiberhenti, berartiinitermasukderetgeometritakhingga. Untukmencaripanjanglintasan bola yang memantulini, rumus yang digunakanadalah

Panjanglintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali derettakhingga)

Dalamderettakhinggaini, yang menjadisukupertamayaadalahpantulanpertama (bukanketinggian bola jatuhpadaawal).

Pantulanpertama = 25 x 4/5 = 20m (sukupertama)

 =

    =

=  = 100

P.Lintasan = 25 + 2(100) = 225m

JAWABAN : D

Jumlahderetgeometritakhingga  + 1 +  + ½ + … = …

A. 2/3 ( + 1)

B. 3/2 ( + 1)

C. 2 ( + 1)

D. 3 ( + 1)

E. 4 ( + 1)

PEMBAHASAN :

r = u2 / u1 = 1 /  = ½

    =

    =

x

    =

    =

    = 2( + 1$

JAWABAN : C

Jumlahderetgeometritakhinggaadalah 7, sedangkanjumlahsuku – suku yang bernomorgenapadalah 3. Sukupertamaderettersebutadalah …

A. 7/4

B. ¾

C. 4/7

D. ½

E. ¼

PEMBAHASAN :

Deretgeometri    :     a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + ar6 + …

Perhatikansukugenapdanganjilnya, dimanapadasuku-sukugenap, sukupertamanyaadalahardanpadasuku-sukuganjil, sukupertamanyaadalahar, denganrasionyaadalah r2.

  7 =

7(1 – r) = a … (i)

Berdasarkanrumusjumlahderetgeometritakhinggadiatas, makakitamemperolehrumusderetgeometritakhinggabersukugenapdenganmenggantisukuawaldengan “ar” danrasionya “r2“.

Sgenap =

    3 =

3(1 – r2) = ar … (ii)

Substitusi (i) ke (ii), sehinggadiperoleh :

3(1 – r2) = (7(1 – r))r

3 – 3r2 = 7r – 7r2

4r2 – 7r + 3 = 0

(4r-3)(r-1) = 0

r = ¾ atau r = 1

substitusinilai “r” tersebutkepersamaan (i), sehinggadiperoleh :

untuk r = ¾

      a = 7(1 – r) = 7(1 – ¾) = 7/4

untuk r = 1

      a = 7(1 – r) = 7(1 – 1) = 0

JAWABAN : A

Pertambahanpenduduksuatukotatiaptahunmengikutiaturanbarisangeometri. Padatahun 1996 pertambahannyasebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahanpendudukpadatahun 2001 adalah … orang.

A. 324

B. 486

C. 648

D. 1.458

E. 4.374

PEMBAHASAN :

tahun 1996 => u1 = a = 6

tahun 1998 => u3 = ar2 = 54

6.r2 = 54

r2 = 9 => r = 3

tahun 2001 => u6 = ar5

6.(3)5 = 1.458

JAWABAN : D

Diketahuibarisangeometridengan u1 = x ¾ dan u4 = x. Rasiobarisangeometritesebutadalah …

A. x2.

B. x2

C. x1/4

D.

E.

PEMBAHASAN :

u4 = x = x3/2

u4 / u1 = x3/2 / x ¾ = x ¾

r 3 = x ¾ => r = x 1/4

JAWABAN : E